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我正在有挑选性地拿过去Andrew和Richard Guy研讨的一些立体问题做消遣。数值成果真是令a片,史上最贱的数学题,天津泰达人拍案叫绝。(来自MathOverflow的谈论)

这便是Allan MacLeod,一位退休的数学家,在几年前偶尔发现的方程,它真的令人拍案叫绝。老实说,我也算是大风大浪见的多了,但这么精妙的丢番图方程(注:有一个或许几个变量的整系数方程,它们的求解只是在整数规模内进行。终究这个约束使得丢番图方程求解与实数规模方程求解有底子的不同。也叫不定方程。)仍是榜首次见。

在我碰到这道题之前,它现已被或人心胸歹意地发布在网络上,成为盛行的朋友圈图片,恣意捉维基我国解密梁光烈弄那些老实人(Scridhar,这个人是不是你?)。我底子没认识到我偶尔看到的这道题究竟是个什么样的怪物。它长这个样:

你或许现已在朋友圈看到过许多这样的图了,它们一般都是标题党的废物:什么“95%的麻省理工毕业生无法处理的问题”,这个“问题”要么很空泛,要么偷换概念,要么便是不重要的脑筋急转弯。

瑜伽妹

但这个问题不是。这张图片便是一个精明的,或许说阴恶的骗局。大约99.999995%的人底子没有任何时机处理它,乃至包含一大批尖端大学非数论方向的数学家。它确实是可解的,但那真的真的不得了的难。

(趁便说一句。发布的人实践上不是Scridhar,或许说不能怪他。)

你或许会这样想,假如一切的测验都失利了,咱们还能够直接用电脑核算大力出奇观。这年头,写个电脑程序处理这种方式简略的方程真是太简略了,只需它真的有答案,那电脑终究一定会找出来。但很抱愧,大错特错。用电脑暴力核算在这儿毫无用处。

假如不把Quora的读比机机者都当作椭圆曲线的入门者的话,我不知道怎样才干写出合适的答案。我在这指剑道能做的只是一个扼要的概览。首要参考文献是最近Bremmer和MacLeod2014年在《数学和信息学年鉴(Annales Mathematicae etInformaticae)》上宣布的一篇名为《一个不一般的立体代表性问题(An unusual cubic representationproblem)》的精彩论文。

让咱们开端吧。

咱们求解的是这个方程的整bilixi数解

(为了与论文的变量名相适应,我泰拉瑞亚能跟若虫对话把苹果、香蕉和菠萝幼稚园杀手谋杀修正过来了)

面临任何方程,你需求做的榜首步是测验并确认问题布景。这究竟被划归到哪一类问题?嗯,咱们被要求找到整数解,所以这是一个数论问题。就题而言,方程触及有理函数(多项式除多项式的函数方式),但很明显咱们能够用通分移项的办法化成一个多项式函数,所以咱们实践上解得是一个丢番图方程( Diophantine equation)。正数解的要求有一点不同寻常,接下来咱们会看到这个要求会让问题变得多么难。

现在,咱们有了多少变量?这个问题看起来很蠢:很明显,咱们有三个变量,分别是a、b、c。让咱们慢一点来。一个科班出身的数论学家榜首眼就能察觉到,这个方程是齐次的。这意味着假如(a,b,c)是方程的一个特解的话,那(7a,7b,7c)都是它的解。你能看出为什么吗?给每一个变量乘一个常数没有改动方程的结构(7只是一个比如),由于分子分母全部都约掉了。

这意味着这个方程看上去像是三维的,但它实践上只需两维。在几许学中,它对应着一个面(一个三元方程一般界说一个两维的面。一般来说,k个n元方程界说一个d维的流形,d=n-k)。这个面是由一条过原点的线旋转构成的,能够经过截取的单平面来了解。这是一条投影曲线。

在大多数初等的景象,这种降维能够这么解说:不管解是什么,咱们都能够分为两类,c=0的景象和c≠0的景象。榜首类只是触及两个变量(所以天然是二维的),而第二类景象咱们能够对一切解一起除以c并得到一个c=1的解(注:在上上一段,咱们现已阐明晰这样一组直播采蘑菇遇腐尸解也一定是方程的解)。因而咱们能够在c=1的情况下寻觅a和b的有理数解,只需乘以一个公分母,就得到了a,b,c的正数解。一般来说,齐次方程的整数解对应一个低一个维度的非齐次方程的有理数解。

接下来的问题是:a片,史上最贱的数学题,天津泰达这个方程的次数是什么?次数指的是各项中最高的幂次,关于触及多个变量相乘的项,幂次便是各变量幂次之和。举个比如,假如某项为a2 bc4 ,那此项的次数便是7=2+1+4 。

丢番图方程在不同次数难度彻底不相同,广泛地说:

一次的十分简略。

二次的也被了解得十分透彻,一般能用相对初等的办法处理。

三次的便是满山满海的艰深理论和不计其数的敞开问题。

四次的,嗯,真的真的很难。

咱们这个方程是三次的。为什么?嗯,去分母之后就很明显了:

即便没有兼并同类项,你也能够明白地看到次数为3:没有古怪的苏夕小说大结局超越三个变量的乘积,终究咱们得到的是相似a^3 、b^2 c、abc这样的项,而没有幂次超越3的。兼并同类项后,方程收拾如下:

a^3+b^3+c^3−3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2)−5abc=0

你或许会对立这样的变形:由于这样取得的解或许刚好使某个分母等于0,使得原方程没有含义。这是对的,咱们的新方程确实有些解不与原方程对应。但这是功德(@F91)。这个多项式方式给原方程打上了一些补丁使得它便于处理;关于咱们找到的任何特解,只需求代入原方程查验一下分母等不等于0就能够了。

事实上,多项式方程很简略处理。比如说, a=−1 ,b=1, c=0。这是功德:咱们有了有理数解,或许说有理点。这意味着咱们的立体方程(3维)实践上是个椭圆曲线。

当你发现这个方程是椭圆曲线时,你会喜不自禁,然后悲从中来(注:这儿不是咱们了解的圆锥曲线中的椭圆,而是域上亏格为1的润滑射影曲线。关于特征不等于2的域,它的仿射方程能够写成:y^2=x^3+ax^2+bx+c。复数域上的椭圆曲线为亏格为1的黎曼面。Mordell证明晰全体域上的椭圆曲线奥术水晶哪里多是有限生成交流群,这是闻名的BSD猜测的前提条件。阿贝尔簇是椭圆曲线的高维推行。By 百度百科。),由于你发现椭圆曲线问题是个庞然大物(学渣哇的一声哭出来)。这个方程是一个展示椭圆曲线理论强壮的经典事例,证明它能够被用来寻觅一些爆难问题的解。

咱们需求做的榜首件事把椭圆曲线化成魏尔斯特拉斯(注:Weierstrass,提起他最闻名的成果便是紧密化微积分的-言语)方式。这是一个长得像这样的等式:

y2=x3+ax+b

或许有时分也会化成

y2=x3+ax2+bx+c

(这被称为长魏尔斯特拉斯方式。它并不是严厉必需的,但有时分会带来一些便当)

众所周知,任何椭圆曲线都能够化成这种方式(在特征为2或许3的域特别根底,假如你研讨特征特别小的域,那成果就不相同了,咱们此处不作谈论)。假如想讲清楚怎样把椭圆曲线化成这种方式,那可便是长篇大论了(学渣的碎碎念:我信我信)。你只需求知道,这种变形是彻底机械的操作(关键在于方程至少存在一个有理数点,而咱们现已确认了一个有理数点)。现在有若干核算机函数包能够垂手可得地帮你搞定这件事。

但即便你不知道怎样完结改换,验证它也是很简略的,或许说至少是机械的。关于咱们而言,需求的改换由令人生畏的公式导出。

我知道这看上初中女生洗澡去就像随意的巫毒花招(注:巫毒,是现在最为人了解的非洲崇奉,在西方文明中便是奥秘力气的标志符号,能够类比国人心中的毒盅、赶尸和降头a片,史上最贱的数学题,天津泰达),但请信任我它不是。一旦你完结了这些变形,烦闷但反常直白的代数核算能够证明它是对的。

y2=x3+109x2+224x

这个方程尽管看起来很原方程长得不怎样像,但确是如假包换的忠诚harikiri模型。在图画上它长成这样,一条有着两个实部的经典椭圆曲线:

右边的“鱼尾”接连延伸至正负无量。左面的关闭椭圆曲线也将给咱们带来处理问题的惊喜。给定这个方程的恣意解(x,y),你都能够经过下面的等式复原所求的a,b,c:

你需求记住,三元组(a:b:c)是用投影曲线了解的——不管你从这些方程中取得什么数值,你都能够随意乘上一个你想要的常数。

关于咱们展示的两个图画,不管是从a,b,c到x,y仍是反过来,都能够证明这两个方程从数论的视点是等价的:一个方程的有理数解能够导出另一个方程的有理数解。专业术语叫做双向有理等价(birational equivalence),而这个概念在代数几许里边是一个十分根本的。如咱们之前注意到的那样,或许存在一些不彼此对应的特别点,而景象是a+b,a+c 或许b+c刚好等于0 。这是结构双有理等价的必要价值,而不需求对此有任何忧虑。

让咱们来看看手里的这个比如。它的椭圆曲线存在一个很好的有理数点:x=−100, y=260。或许找到这个点不太简略,但查验它在曲线上就很简略了:直接代入原方程查验等式两头是否持平(我不是随机摸的点,但各位不必关怀姜宏波老公这个问题)。咱们能够简略地验证a,b,c代入的成果。

咱们得到了a=2/7,b=−1/14,c=11/14,已然咱们能够随意乘以一个公分母,那咱们就能够变形为a=4,b=−1,c=11.

代入原方程,确实4/嫁给一个穷书生(−1+11)−1/(4+11)+11/(4−1)=4

你能够很简略地验证。这便是咱们原方程的一个简略整数解——但很惋惜,不是正整数解。找到这个解用手算不太简略,但用一点耐性即便不必核算机也不算太难。它将成为咱们找到正数解的缘起之地。

现在,一旦你在椭圆曲线上找到了有理数点,如P(-100,260),你就能够使用弦切技巧进行加法,生成其它的有理数点(有理数的加法是关闭的,有理数加有理数仍是有理数)。

图解:椭圆曲线上点的加法

在任何景象下,在一个域(实数域R或许有理数域Q)中给定一个方程,你能够把解视为坐落R2或许Q2的点(来自R2或许Q2的投影),而相加律便是弦—切结构的变形:想要对王微雨两个点A和B做加法,结构一条过二点的直线(弦),当A,B重合时,这便是曲线的切线。找到直线与曲a片,史上最贱的数学题,天津泰达线的第三个交点P,对O和P重复上述操作,再次得到的交点便是A+B。当O点被选为无量远处的点(一般都这么处理),图画就如上所示(注:至于O点是什么,这就触及群论和更艰深的椭圆曲线常识,懂的天然懂,不明白的我也讲不明白,由于我也不明白)。更具体的见原作者的Quora答复previous,再具体的请去翻代数几许。

一开端,咱们能够经过作P点的切线,找到它和曲线再次相交的点,以此添加P点的值。成果看上变得有点吓人P+P=2P=(8836/25,−950716/125)。

相同的,这个新的点也对应一组a,b,c的值,(a,b,c)=(9499,−8784,5165)。

这个解用手算就很困难,但用电脑便是小意思了。但是,它还不是正的。

当然,困难吓不倒咱们,咱们持续核算3P=2P+P,操作办法便是衔接P和2P找到与曲线的第三个交点再与O点相连找到第四个交点。相同的,咱们核算a,b,c,但是仍是相同的,成果不是正数。以此类推,核算4P,5P等等等等。直到咱们核算到9P。

9P=(-66202368404229585264842409883878874707453676645038225/13514400mum238292716288512070907945002943352692578000406921,

58800835157308083307376751727347姐妹日181330085672850296730351871748713307988700611210/1571068668597978434556364707291896268838086945430031322196754390420280407346469)

很明显这不是人算的了,但交给机器,这也便是9次简略的几许程序迭代。对应的a,b,c值也很恐惧:

a=154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999,

b=36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579,

c=4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036

这些是80位数!你不或许经过暴力核算找到一个80位数(注:简略的算术题,三个1080的数,一共的组合数便是10240,威风太湖之光的峰值核算才干为12.5亿亿次每秒,折算不过1018 次/s,至少需求10222秒,大约10214年,更震慑的写法便是1亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿年)!但不管它看上去怎样难以想象,但这些数值代回原方程,确实等于4:

让咱们回到理论自身再讨论一下。界说在有理数上的椭圆曲线存在一个阶(rank),它表明咱们最开端至少需求知道多少个有理点才干经过弦切办法找到曲线上一切的有理数点。咱们这条椭圆曲线的阶等于1,阐明尽管它上面有无量多个有理点但都是由一个有理点生成的,而这个点不是其他刚好便是咱们最开端的那个P点(-100,a片,史上最贱的数学题,天津泰达260)。

核算阶数并找到这样的一个生成子的算法非同小可,但SageMath(现在叫CoCalc)只需求几行代码1秒钟以内就搞定了。你能够检查我的代码(here),它从头开端再现了整个解法,当然其中有Sage内置的椭圆曲线处理办法。

在咱们看来,P点坐落曲线的椭圆部分,而其它的mP(m为正整数)点也相同。它们会逐步跑遍整个椭圆并终究均匀地散布在整个曲线上。而咱们是很走运的,由于只需很少一部分椭圆能发生a,b,c的正数解:它们是下面这张图加粗的部分(引自Bremmer和MacLeod的论文)。

P,2P等点并不在黑色加粗的部分,但9P刚好在,使咱们得到一个80位孟小蓓的美拍的正整数解。

Bremmer和MacLeod还研讨了假如咱们把等式右边的4换成其crossly它的东西会怎样样。假如你觉得咱们的解太大了,那是由于你还没才智到把4换成178的成果。那就不只是是80位了,你需求398,605,4a片,史上最贱的数学题,天津泰达60位数。对,你没看错,那个解便是这么大。假如你试试896,位数就飙升到数万亿位了。没错,数万亿位的解,归于这个看上去人畜无害的方程。

上述的丢番图方程便是一个系数很小但整数解位数巨大的骇人事例。它不只是是令人生畏的符号,而是一项含义深远的研讨。希尔伯特第十大问题的否证陈说意味着,跟着系数逐步增大,解的增加将变为一个不行核算的方程——由于假如它是可核算的,那咱们就能得到一个解开丢番图方程的简略算法,而事实上并a片,史上最贱的数学题,天津泰达没有,不管是简略的仍是杂乱的。这项研讨展示了与那个问题的某种联络:4->80位,178->数亿位,896->数万亿位,让咱们瞥见那个奇怪的、不行核算的函数的一貌。稍稍把咱们的方程改动一下,解就会敏捷增加到盖过咱们这个“不幸的”、“藐小的”世界的任何事物。

何其美好、何其揶揄的小小方程!

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修改 ∑Pluto

来历:数学建模

经典 谈论 文明
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